Читать онлайн Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели

.

Математика до возникновения математики

В некоторых частях света письменность возникла раньше, в других позже. Нас сейчас интересуют самые древние (из известных) письмена древних людей. А это – глинобитные таблички Междуречья (3,5 тысячи лет до н.э.) и папирусы Древнего Египта (около 2,4 тысяч лет до н.э.). Неоспоримые исторические свидетельства того, что математика тогда уже была.

Понятно, что письменность в те времена была делом дорогим (а также чисто технически долгим и трудным). Записывали только самое-самое важное. Самое-самое необходимое. И среди прочего – математические трактаты.

Почему я назвала эту главу "математика до возникновения математики"? Потому что математикой уже начали заниматься, начали копить некоторые математические знания, но собственно наука математика еще не возникает – она появится позже, в Древней Греции. И это, вообще-то, нормально. Чтобы возникла наука, ей нужен объект изучения. Астрономия возникла, когда уже были звезды. Анатомия – когда уже был человек. Так и тут. Многие занимались математикой еще до того, как это стало мейнстримом (и даже появилось такое слово!)

Итак, что же мы можем почерпнуть из ископаемых манускриптов?

2.1

Древний Египет

В Древнем Египте занимались математикой так называемые писцы. Они были чиновниками при египетских царях (фараонах). Передавали их указы военноначальникам, указывали рабам, как строить здания, рассчитывали налоги. (Т.е. вообще-то обладали очень большой властью и были людьми уважаемыми). Для всего этого им требовались знания математики.

Самый известный в мире математический папирус – папирус Ринда. Он около 32 сантиметров в ширину и более 5 метров в длину (2 куска длиной 3 метра и 2 метра хранятся в Британском музее; и еще кусок около 18 сантиметров утерян в веках). Этот папирус целиком посвящен разным математическим задачкам. Написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650-м году до нашей эры. Но считается, что Ахмес переписывал его с еще более древнего манускрипта.

Самый древний из известных математических папирусов – Московский математический папирус, он написан около 1850 года до нашей эры. (Хранится в музее изобразительных искусств им.А.С.Пушкина).

/*Вы когда-нибудь обращали внимание, что самые интересные египетские папирусы хранятся вовсе не в Египте? Как и самые известные глинобитные вавилонские таблички вовсе не в Ираке.*/

Древние математические папирусы служили своеобразными учебниками математики – именно по ним изучали эту премудность новые писцы.

Итак, какого рода задачи можно встретить в папирусах? В папирусе Анастаси номер 1 читаем:

«Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе – его царскому писцу, поставленному во главе войска. Должно сделать насыпь для подъема в 730 локтей длины и 55 локтей ширины; она состоит из 120 отдельных ящиков и покрывается перекладинами и тростником. На верхнем конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине 30 локтей; уклон ее – дважды по 15 локтей, а настил – 5 локтей. Спрашивают у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и говорят: "Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей. Смотри, имя твое славится. Сколько же надо для этого кирпичей?"»

И вот такого рода задачи приходится решать. А куда деваться?

/*К счастью, современным математикам подобные задачи встречаются последний раз приблизительно в школе. Современные математики вообще не решают задачи с числами, только с буквами и прочими непонятными закорючками, типа ∫, ▽ или ↘. Помочь в вызове дьявола эти письмена то ли способны, то ли нет, но чтобы придать им какой-либо практический смысл обычно требуется примерно 200 лет.*/

Числа египтяне записывали похоже на известные нам римские числа. Единицы – палочки. Десяток объединяли в символ в виде подковы. Сотню в символ в виде завитка. И так далее. Были символы для тысячи, десяти тысяч, сотни тысяч, миллиона. То есть система счисления у них десятичная, но цифры и, соответственно, позиционная запись числа еще не появляются. (Единицы, кстати, слева, потом десятки и т.д.). В такой системе записи удобно числа складывать (все символы записываем вместе, при необходимости 10 символов одного вида меняем на следующий). И удобно числа умножать на 2 (складывая само с собой). Вычитать (меньшее из большего, конечно) – тоже вполне легко. А большее из меньшего вычитать им не могло и в голову прийти!

Рисунок 2.1: Два примера на умножение из папируса Ринда

А вот как египтяне умножали числа. (См.рис.2.1) Они число удваивали несколько раз и записывали результаты. В правой колонке – на что уже умножили. В левой – результат. Так удваивали до тех пор, пока сумма некоторых чисел в правом столбце не даст второй сомножитель. И складывали соответствующие числа из левой колонки.

Левый пример на рисунке как раз иллюстрирует такую типичную запись. Нам нужно посчитать 12 × 12. Удваиваем 12 несколько раз.

121=12, 122=24, 124=48, 128=96.

Тут мы замечем, что 12=4+8 (12 – число, на которое нам надо умножить; 4 и 8 – на которые мы уже умножили), и поэтому результат умножения получится 48+96=144.

Как мы видим, умножать – не такой уж легкий труд! А кроме того, египтяне при умножении фактически пользовались и двоичной записью числа.

Но иногда можно было использовать умножение на 10 сразу. На 10 ведь умножать легко. Просто все символы заменить на бóльшие. И тогда еще можно умножить на пять (поделить удесятеренное число пополам).

Правый пример на картинке как раз иллюстрирует атипичную запись, использует умножение на 10 и на 5. Нам нужно посчитать 13×16.

131=13, 1310=130, 135=65.

Поскольку 16=10+5+1, то результат умножения 130+65+13=208.

/*При таком умножении очевидно, что коммутативность умножения (то есть то, что от перестановки мест сомножителей произведение не меняется) – штука дааааалеко не очевидная! Чтобы ее заметить, надо быть очень опытным писцом. Практически, математическое открытие!*/

Как писцы выбирали метод умножения – неизвестно. Почему на 16 приведен пример в папирусе с умножением на 10 и на 5 (а не 4 раза удвоение) – непонятно. Почему на 12 нельзя было умножить на (10+2) – непонятно. То есть, никакого четкого алгоритма в их действиях, вообще говоря, не было. Хорошо, что умножение – это вам не бином Ньютона, все не мытьем так катаньем получалось рано или поздно. В папирусах, собственно, ничего не объяснялось. Просто разбирались примеры. /*Делай так, и будет тебе счастье!*/

Рисунок 2.2: Пример на деление из папируса Ринда

/*А попробуйте сами для прикола произвести какие-нибудь умножения по-египетски. Ну, напирмер, 23 на 25. Спорим, в процессе вам волей-неволей захочется воскликнуть что-то типа: «Да, ёшкин кот, египетский бог!»*/

Обратите внимание также на закорючку в виде закрытого и запечатанного списка (возможно, именно она позднее трансформировалась в символ равенства) – она ставится перед ответом и означает, что вычисление, собственно, выполнено. Свиток запечатан, получите, распишитесь.

Ох, как же сложно все с делением! Вы же уже представили? Деление – операция обратная умножению. Т.е., например, надо вам поделить число 1120 на 80. (См. рисунок 2.2) Иными словами, вы должны подобрать множитель, который при умножении на 80 даст 1120. Подбираем. Умножаем 80 на 2 несколько раз. На 16 умножать смысла уже нет (т.к. получится 1280, что больше нужного нам 1120). На всякий случай умножаем и на 10 (потому что легко же!). Замечаем, что числа 800 и 320 из левой колонки дают нужный ответ 1120. Таким образом, результат деления 14. (Однако после знака "равно" писали все равно 1120. По форме записи пример на деление ничем не отличался от примера на умножение!)

Рисунок 2.3: Фрагмент Папируса Ринда.

Но самые заморочки начинались у египтян с дробями. Они признавали только дроби с числителем 1. Были и сложные дроби, которые составлялись как сумма нескольких обязательно разных простых дробей (с числителем 1). Сейчас такие дроби в математике так и называются "египетские дроби". Записывали они дроби в виде лунки над натуральным числом (фактически, только знаменатель, ведь числитель – всегда 1).

Соответственно, у египтян возникла совершенно отдельная задача – удвоение дробей. Т.к. они все умножения делали (или могли делать) через удвоение, то удвоение было очень базовой операцией. Научишься удваивать – научишься умножать дроби на любое натуральное число. Для удвоения дробей египтяне составляли таблицы.

Казалось бы, почему хуже, чем ?5 Почему нельзя оставить две дроби с одинаковым знаменателем? Это самое "хуже" возникает после нескольких удвоений. Если не переписывать дроби, то они нарастают и нарастают. А если переписывать (тогда старшая дробь старше), то в сумме дробей не становится слишком много.

Египетскими дробями мы, конечно, сейчас не пользуемся, но они продолжают волновать умы математиков. До сих пор в математике есть открытые (не доказанные и не опровергнутые) вопросы про египетские дроби. Самый известный пример – гипотеза Эрдёша-Штрауса, которая утверждает, что дробь вида ) можно представить в виде суммы ровно трех дробей с числителем 1.

/*

На самом деле, можно очень долго описывать, как считали древние египтяне. Потому что ведь нет ничего радостнее, чем наблюдать за чужими мучениями, а египтяне явно мучились со всеми этими арифметическими действиями. Если вам хочется познакомиться поближе со счетом древних египтян, можно начать с прекрасной, подробной и очень умной книжки по истории математики [7].

*/

Геометрия у египтян была прикладной арифметикой. Как были задачи для подсчета налогов, так были задачи для подсчета количества кирпичей, необходимых для строительства пирамиды. Задачи по поиску объемов, площадей.

У египтян были правильные формулы для вычисления площадей треугольников, прямоугольников, трапеций.

Площадь произвольного четырехугольника вычислялась по формуле: произведение полусумм противоположных сторон.

/*Кстати, задачка для любознательных. Докажите, что формула дает правильный ответ тогда и только тогда, когда четырехугольник— прямоугольник. */

Для вычисления площади круга использовали формулу , (здесь d – диаметр круга). Приближение, на самом деле, хорошее. По этому приближению выходит, что у них

Например, вавилоняне (которые знали побольше математики) использовали приближение а в древнекитайской математике приближение использовалось аж до начала 2 века нашей эры.

Объемы кубов, балок, цилиндров вычислялись правильно (площадь основания на высоту). Самая большая проблема была с переводом одних мер объема в другие. Правильно считали также объем пирамиды /*Ну, а куда им было деваться! Пирамиды были под прямым надзором президента, тьфу ты, фараона.*/ и даже объем усеченной пирамиды тоже считали правильно.

И – возможно, высшее достижение египтян в геометрии – с помощью натянутой веревки они умели строить прямые углы. Берем 12 одинаковых по длине веревок. Связываем между собой. Затем натягиваем так, чтобы получился треугольник со сторонами 3-4-5. Угол между 3 и 4 будет прямым. Правильным углом для постройки пирамиды.

Больше ничего геометрического с помощью каких-либо приборов египтяне не строили. Никогда ничего египтяне не доказывали. Собственно, вся египетская математика сводилась к громоздким арифметическим вычислениям – но и это уже не мало!

2.2

Древняя Месопотамия

Древняя Месопотамия, древний Вавилон, древние шумеры – речь идет примерно про одну и ту же географическую область, Междуречье (между двумя великими реками, Тигром и Евфратом), в основном эта область находится на территории современного Ирака. Область, которая на протяжении более, чем тысячелетия была ключевой в развитии (европейской) культуры. Именно здесь зародилась /*или, по крайней мере, так считается*/ первая письменность (шумерские глиняные таблички, на которых трехгранными клинышками высекали необходимые письмена). И здесь же были сделаны одни из первых математических открытий, известных нам сейчас. Математика (особенно, арифметика) древних вавилонян была на голову выше, чем математика древних египтян.

Математикой в Вавилоне занимались опять писцы, которые были в отличие от египтян, скорее не чиновниками, а жрецами, людьми духовными. Впрочем, в те времена, когда египетские фараоны приравнивались к богам, различие это было ускользающе малым. Найденные глинобитные дощечки с математическими знаниями также, как и в Египте, носят обучающий характер. А иногда – это явные "справочники" для вычислений, таблицы.

Эти самые глинобитные дощечки встречаются разных размеров. Бывают многометровые, явно обломанные (т.е. раньше было больше). А бывают размером чуть ли не с ноготь /*может, это шпоры?*/. В основном же – около одной странички.

Рисунок 2.4: Глиняная табличка Plimpton 322, содержит то, что позже назовут "пифагоровы тройки чисел".

Как древние шумеры считали? В записи чисел шумеры использовали более прогрессивную – позиционную – запись числа (т.е. значение знака зависит от его позиции). Записывали они в 60-ричной системе счета. Числа до 60 записывались в обычной 10-ной системе (1 – один "клинышек", 10 – один "уголок"). Но число 60 снова обозначается как 1 (большая единица), и счет начинается снова. Иногда цифру более высокого разряда писали крупнее, но это уж как получится. Таким образом, "уголок" может означать как 10, так и десять шестидесяток, т.е. 600. Может означать и 1060²,1060³,… В том числе, не только положительные, но и отрицательные степени записывались также. , т.е. записывается так же, как 10, одним "уголком". (Числа писали как мы, младшие разряды справа, старшие слева).

Например, 11 записываем "уголок-клинышек". А "клинышек-уголок" это уже значит, что "клинышек" выше разрядом, поэтому "клинышек-уголок" это 70.

Вся прелесть позиционной системы в том, что не надо выдумывать много цифр. Шумеры вот двумя символами обходились на все про все.

Для нас нет большой разницы, умножать 28 на 17, 280 на 17000 или же 2,8 на 0,17. (Надо только сообразить, куда ставить запятую или сколько приписывать нулей – т.е. надо понять порядок числа). Так же и для шумеров большой разницы не было. Правда, они использовали таблицу умножения от 1 до 59. /*Но вы же помните, что последние 10 тысяч лет объем мозга человека постоянно уменьшается? Каких-то 5 тысяч лет назад все грамотные люди держали в своей голове таблицу умножения 5959, сейчас же нельзя с уверенностью сказать, что современные люди помнят наизусть 78.*/

Вопрос с порядком числа в практических задачах обычно решается из контекста. Если мы говорим: "Я ее купил за 10", – то в зависимости от контекста (сумочка это, авторучка или квартира), мы понимаем, идет ли речь о тысячах рублей, рублях или миллионах. Так же вместо "2 324 рубля 35 копеек" мы, скорее всего скажем "Две-324-35", без указания разряда (тысячи), без добавления слов "рубли"/"копейки". Сложности с порядком чисел могли бы возникнуть в теоретических задачах, но их-то и не было!

Почему именно 60 основание системы счисления? Число уж больно удобное. Делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. И поэтому у вавилонян была именно такая денежная система. В одном таланте 60 мин. В одной мине 60 шекелей. Удобно делить деньги.

Именно остатки 60-ричной вавилонянской системы до сих пор присутствуют в нашем счете времени. В одном часе 60 минут. В одной минуте 60 секунд. То же и с углами (просто между углами и временем связь вообще напрямую).

Обратите внимание: древние египтяне писали натуральные числа, даже дробные числа, но никогда не писали 0. Вавилоняне тоже писали и натуральные числа, и дробные числа, но ни о каком "числе 0" они ничегошеньки не знали. Спустя тысячу лет после первых математических текстов они, наконец, сообразили, что хорошо бы в числе пропущенный разряд как-то обозначать. И спустя тысячу лет после первых математических изысканий, придумали значок, обозначающий пропущенный разряд. Придумали 0-цифру, но все еще не 0-число. (Теперь стало можно отличать 60³ от 60² или же 60³ + 2 от 60³ + 2 · 60 и так далее).

/*Ноль – очень сложное число. Запомните эту мысль, она нам еще, возможно, встретится. Вычислять приближенно квадратные корни? Да легко! Решать в уме квадратные уравнения – дайте два. А вот до числа 0 не додумались ни египтяне, ни вавилоняне, ни позже древние греки, ни в средневековых арабских странах, где математика была на очень высоком уровне. Ноль в математике возник немногим ранее комплексных чисел! */

Рисунок 2.5: Реплика глиняной вавилонянской дощечки, выполнена студенткой Кравцовой Настей, слушавшей у меня курс «История математики в контексте истории культур»

Вавилоняне не делили числа. Когда надо было выполнить действие , они искали обратное к b и умножали его на a. Таблицы обратных чисел и таблицы умножения – доступны. Когда число не делилось нацело, пользовались его приближенными значениями. Например, это точное значение (здесь я в скобках записала одну вавилонянскую

60-ричную "цифру"). А это приближенное значение, но вполне хорошее приближение (, a . Погрешность менее 1%).

Что еще делали, кроме четырех основных арифметических операций? У вавилонян была таблица квадратных корней, таблица кубических корней, и (внезапно!) таблица корней уравнения x³+x=a. И всякие другие таблицы. Таблицы они вообще очень любили.

Но самое интересное: у вавилонян явно появились первые алгоритмы. Например, алгоритм вычисления корня из любого числа.

Предположим, нам надо вычислить . Если первое приближение корня мы взяли a₁, то (теоретически, если мы попали в цель) должно быть равно a₁. На деле, эти числа разные (одно больше, другое меньше, чем ). И мы берем два числа a₁ и и ищем между ними среднее арифметическое. Это второе приближение a₂. Если оно опять не идеальное (т.е. разница между a₂ и велика), можно также найти третье приближение и т.д.

Ясно, что где-то от 1 до 2, возьмем первое приближение . Тогда . И второе приближение числа Что уже очень близко к реальному значению . Третье приближение, полученное таким алгоритмом отличается от реального значения в 6 знаке после запятой! Отличный алгоритм.

Существовал у вавилонян и алгоритм для решения квадратных уравнений (в целом повторяющий известную нам формулу для их вычисления).

А что с геометрией? Геометрия у вавилонян – целиком прикладная алгебра. Иногда задачи (вроде бы геометрические) не носили никакого смысла. В них складывали площадь с периметром, диагональ с объемом и т.д.

Никаких доказательств или построений не было. Только приближенные вычисления. Однако же приближения были с высокой точностью. Поэтому несмотря на то, что правильных формул вавилоняне не знали, здания они строили крепкие (в том числе и знаменитые зиккураты, представляющие собой несколько усеченных пирамид, взгроможденных одна на другую).

Площадь круга считали как 3r², длину окружности как 6r (т.е. считали π=3).

Объемы призмы, цилиндра вычисляли умножая площадь основания на высоту (правильная формула). А вот формулу для вычисления, например, объема усеченной пирамиды использовали неправильную (полусумма площадей оснований на высоту).

Есть свидетельства того, что вавилоняне знали тот факт, что численно сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (т.е. теорему Пифагора). Но это не точно.

Итак, никаких доказательств в те древние времена еще не было. Никаких задач на построение тоже не было и в помине. Вавилоняне и египтяне занимались математикой практически параллельно, нет никаких свидетельств, что в те эпохи они каким-либо образом обменивались знаниями (обмен знаний начался позже, в эпоху господства Древней Греции). Доказательства существования вавилонянской математики несколько старше (от 2,5 тысяч лет до нашей эры), египетской чуть моложе (от 2 тысяч лет до н.э.). В решении разного рода вычислительных задач вавилоняне были куда круче египтян, но тем надо отдать должное: они придумали такую странную систему вычислений, что хоть стой, хоть падай. Однако, в геометрии точнее были египтяне.

Древняя Греция

Глава, в которой математика, наконец, появляется.

Рисунок 3.1: Фреска "Афинская Школа" Рафаэля Санти. Ватикан.

От математиков Египта и Междуречья до нас дошли только примеры решенных задач. В Древней Греции, наконец, мы видим появление математической науки. В чем разница? В математике появляются доказательства. Пока в математике нет доказательств, наукой она не считалась. Ремеслом, занятием, вспомогательным инструментом – да, может быть, но не наукой. Этот важнейший перелом, скачок на новый уровень, когда количество накопленных математических знаний (зачастую противоречивых) переходит в качество, случился приблизительно на рубеже VI и V веков до нашей эры.

3.1

Фалес. Начало.

Рисунок 3.2: Фалес. 624–546 гг. до н.э.

Кроме того, надо обязательно отметить и такой факт. В Египте и Месопотамии математика развивалась крайне медленно. Годами, да что там годами, столетиями, в математике ничего не происходило.

Чтобы изобрести цифру 0 (даже еще не число, а только лишь цифру обозначающую пропущенный разряд) у древних вавилонян ушло более тысячи лет! Свитки переписывались без изменений. А ведь это были учебники. И новые писцы учились по учебникам 1000-летней давности.

/*Сейчас в высших учебных заведениях России есть стандарт. Все учебники гуманитарных дисциплин должны быть не старше 5 лет. Вся учебная база естественно-научных дисциплин – не старше 10. Нельзя учиться по старым изданиям задачника Демидовича, нужно обязательно брать новые. В связи с этим в университете, где я работала, был забавный казус на факультете теологии. Весь "Ветхий завет" в библиотеке устарел! И включать его в учебную программу было нельзя.

Обратите внимание, что как нельзя использовать учебники старые, так нельзя использовать и слишком новые. Используемый учебник обязательно уже должен быть выпущен и одобрен УМО. Конечно же, я при написании этой книги, подобными ограничениями не руководствовалась – и поэтому с легкостью вам рекомендую к прочтению еще не дописанную и не выпущенную книжку [64].*/

А в Греции на протяжении примерно 300 лет с момента возникновения математики развитие ее идет взрывообразно. Очень быстро. В 6 веке до н.э. она появляется. А в 3 веке до н.э. уже Евклид пишет свои "Начала" – библию всех математиков, венец творения древних греков. В которой собрано безумное количество задач, теорем, алгоритмов по самым разным темам (мы на «Начала» посмотрим более пристально в главе 6). В этих самых «Началах» многие задачки очень нетривиальные! Математика от несуществования до очень высокого уровня, с доказательствами достаточной степени строгости, со многими приемами и методами, используемыми до сих пор, развилась в Древней Греции за 300 лет.

Как говорил про это Платон: "Все, что эллины переняли у варваров, они довели до совершенства".

Почему так? Почему именно тогда? В 6 веке до н.э. в греческих городах-государствах происходит смена власти с рабовладельческой аристократии на рабовладельческую же, но демократию. Все граждане государства могли принимать участие в управлении государством (ясное дело, никаких иноземцев, женщин и рабов – они гражданами не были; но право голоса появилось у всех граждан). Главный принцип демократии: каждый должен отстаивать, аргументировать, доказывать свою точку зрения. Никакие суждения без доказательства не могли пройти сквозь голосование. Греки учатся критическому мышлению, и помогает им в этом демократия. А как апофеоз критического мышления возникает математика.

Отцом математики считается Фалес Милетский. Фалес Милетский – древнегреческий мыслитель. Как был в Античности список Семи величайших Чудес Света, так был и список Семи Мудрецов. Хотя этот список и считался эталонным, каждый раз он был немножко разный, в зависимости от того, кто его озвучивал. Но в любой реинкарнации такого списка всегда был Фалес. Причем, всегда на первом месте!

Почему Фалес считается отцом математики? Считается, что Фалес первый применил в математике доказательства. Откуда это известно? В V веке нашей эры великий математик Прокл Диадох сочинил очень известный «Комментарий к первой книге "Начал" Евклида». Случилось это примерно 1200 лет спустя после того, как жил Фалес. В этом комментарии написано, что за 900 лет до Прокла (т.е. все равно не при жизни Фалеса) ученик Аристотеля Евдем письменно утверждал, что Фалес доказал следующие факты:

Первый доказал, что диаметр делит круг на равные части.

Доказал      равенство      углов      при      основании      равнобедренного треугольника.

Равенство треугольников по стороне и двум углам.

Текст Евдема до нас не дошел, и сами доказательства до нас не дошли (мы не имеем никакого понятия о том, какие они были), но раз так утверждается в письменном источнике Проклом (который, предположительно, видел-таки письменный источник, написанный Евдемом, у которого тоже были какие-то основания для подобного заявления) – то вот считается вот так.

Не надо воспринимать историю математики как математику. Тут почти не бывает (и в определенной степени не может быть) строгих доказательств исторических фактов.

/*По поводу исторических доказательств в истории математики сохранился также еще один анекдот. Андрей Николаевич Колмогоров, один из великих математиков 20 века, сначала хотел быть историком. И как-то раз, выступая на научном семинаре сделал доклад, полностью обосновав и доказав свою точку зрения. Руководитель семинара Колмогорова очень хвалил, но сказал, что для достоверности каждый исторический факт должен быть подтвержден несколькими разными доказательствами. Так и закончилась карьера Колмогорова-историка: он решил уйти в науку, где для доказательства истинности одного доказательства достаточно!*/

Фалес был великим мыслителем, и прославился не только математическими открытиями. Кроме вышеперечисленных фактов он доказал, что вертикальные углы равны и в каком-то виде знаменитую теорему Фалеса – скорее всего только прямую; первый описал круг вокруг прямоугольного треугольника и скорее всего, первый же доказал, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Кроме математических результатов, Фалес известен также своими астрономическими открытиями. Наиболее яркое из них – он предсказал солнечное затмение в 585 году до н.э.; указал морякам, что ориентироваться надо по Малой Медведице, как делали это вавилоняне, а не по Большой (как вслед за египтянами было принято у греков). А кроме того, Фалес был удачливым торговцем, торгуя оливковым маслом, он сколотил состояние.

В путешествиях Фалес познакомился как с египетской наукой (которая, кстати, была довольно известна в Древней Греции), так и с вавилонянской (вот с преемственностью от вавилонян у греков было хуже – они почему-то очень точечно получили от них знания). От одних он знал одну форумлу площади круга , от других – другую 3r². Так где же истина и кто же прав? Как отличить правильные знания от приближенных и ошибочных? С помощью логики и доказательств. Именно поэтому Фалес передоказывает "азбучные истины", факты и так всем хорошо известные (например, то, что диаметр делит круг на две равные части).

Вот так вот появляется математика. И все это, конечно, хорошо и замечательно. Но. Но Фалес – ученый и торговец. Он доказывает теоремы и торгует оливковым маслом. На самом деле, при всем уважении, но его труды никак не могли способствовать тому, что математика в Древней Греции мало того, что взрывообразно развивается, но еще и становится царицей наук и практически возводится в ранг религии. А вот за это все ответственен Пифагор.

3.2

Самосский тоннель

Тут мне бы очень хотелось упомянуть, что в прикладную математику древние греки тоже умели.

В середине 6 века до н.э. (приблизительно в 530 году до н.э.) Евпалин построил водопровод на острове Самос. Примечательность состоит в том, что водопровод строили сквозь гору Кастро, копая одновременно с двух сторон. А самое примечательное в точности наведения: благодаря ловким геометрическим рассчетам, проведенным Евпалином, расхождение по горизонтали (в точке схода двух кусков тоннеля) не более метра. Расхождение по вертикали и вовсе 4 сантиметра! Длина тоннеля при этом больше километра.

Когда за 100 лет до этого подобный тоннель строили возле Иерусалима, он получился зигзагообразным и длина тоннеля в два раза превышает расстояние между его концами.

С античных времен этот тоннель был забыт. Но в трудах Геродота был составлен список "Чудес света". Это самый первый в мире (известный сегодня) список чудес света, Геродот туда включил всего три объекта, среди которых этот самый Самосский тоннель. Прочитав о тоннеле в трудах Геродота, тоннель принялись искать – и нашли, раскопали в 1882 году. С тех пор это туристическая достопримечательность.

.

Евклид. Начала.

Рисунок 6.1: Страница из первого печатного издания «Начал», 1482 год

Венцом древнегреческой математики считается книга, написанная Евклидом, под названием «Начала». Сейчас бы такую книгу назвали «Начала математики», «Начала геометрии», ну начала чего-то ведь! Но Евклид был скромным, и уточнять, Начала чего, не стал.

По количеству переизданий и выпущенных за всю историю копий, Начала Евклида не имеют себе равных среди светских (нерелигиозных) книг. Годом изобретения книгопечатания (в Европе) считается 1445 год и первым делом была напечатана, конечно, Библия (потом Псалмы и т.д.). Но первое издание «Начал» не заставило себя долго ждать, и вышло в 1482 году (это очень быстро!). Кстати сказать, до Библии массово печатались только две вещи: религиозные гравюры и игральные карты ))))

Так вот, тут есть некий исторический парадокс. «Начала» Евклида сохранились идеально! (они написаны примерно в 300 году до н.э. и до их первого печатного издания переписывались и переписывались от руки. Гуляли по странам, континентам и частям света, чтобы вновь вернуться в Европу – но текст исходных «Начал» при этом сохранился! (Плюс иногда добавлены ценные комментарии, но которые сами оформлены именно как комментарии). При том, что про книгу хорошо все известно, никто не знает, когда же жил ее автор, Евклид! И не только "когда", а вообще, про него очень-очень мало что известно. /*Как же хорошо, что с тех пор изобрели интернет! Теперь про всех всем всё известно.*/

Евклид жил в Александрии (территория современного Египта), и был очень книжным человеком. Малообщительным. Прокл в своем комментарии указывает, что Евклид должен был жить во времена Птолемея I (это египетский царь, а про царей гораздо лучше сохранилось все в истории, чем про ученых). Вот, собственно, это мы и знаем о Евклиде.

Комментарий Прокла, кстати, мы с вами уже упоминали (именно в нем возникает имя Фалеса как отца математики). Кроме того, в своем комментарии Прокл делает краткий экскурс в историю древнегреческой математики с момента возникновения (Фалеса) до момента написания книги.

В своих «Началах» Евклид постарался собрать всю известную на тот момент математику. По большей части ему это удалось. В «Началах» 13 книг. Первые 6 – это планиметрия. Затем четыре книги – арифметика и немного алгебра, которые излагаются по большей части на геометрическом языке. Последние три главы – стереометрия.

Если раньше мы уже говорили, что шумеры и египтяне занимались геометрией как прикладной арифметикой, то греки делают все совершенно наоборот. Всю арифметику, алгебру и теорию чисел стараются греки облечь в геометрическую формулировку. Например, как формулируется иррациональность числа ? Всегда только так: "диагональ квадрата несоизмерима с его стороной" (несоизмерима – это и означает, что никак с помощью стороны измерить нельзя. Не находится со стороной ни в какой приличной пропорции).

Вавилоняне ничтоже сумняшеся складывают площадь квадрата с его периметром. Греки никогда такой вольности не допустят, ведь площадь и периметр – это не числа для них, а разные сущности. Число греки не называют числом не потому, что не знают иррациональных чисел, а потому что в их определении под словом "число" подразумеваются только натуральные числа. Рациональные числа в их терминологии – "отношения (чисел)" (рацио). А иррациональные? Это странные сущности, не являющиеся рациями. Когда вавилоняне не могли найти точное значение, они заменяли его приближением – и на этом все. Греки всегда искали

Рисунок 6.2: Страница из рукописного экземпляра "Начал", IX век н.э.

/*С тех пор у математиков принято именно так. Мы знаем приближенные значения чисел, но мы не отождествляем их с этими числами. Математик скорее откусит себе язык, чем скажет, что "π равно 3.14". Скорее всего, математик не будет уточнять, скажет просто π. Если очень попросите, то скажет, что "π примерно равно

3.14".

Но самый настоящий математик вам этой информации не выдаст и до последнего на вопрос: "Так чему же равно π?" – даже под страхом смерти будет настаивать на том, что π равно отношению длины окружности к ее диаметру (и конечной или периодической десятичной дробью не выражается).*/

«Начала» практически до конца XIX века считаются образцом логических построений и предельной четкости изложения. Именно по образу и подобию начал строят свои книги Декарт, Ньютон, Спиноза (не только труды математические, но и труды философские), а также практически все математики с тех времен.

Сначала идут определения. Например, определение окружности и круга, тупого, острого, прямого угла и т.д. Потом идут так называемые "Постулаты" (пять знаменитых постулатов Евклида нам позже встретятся в главе «Что такое неевклидовы геометрии?»), аксиомы. Постулаты – это высказывания, которые не нуждаются в доказательствах. Постулируется (допускается), что такие-то и такие-то утверждения верны. И из этих утверждений выводятся разные теоремы. Если мы изменим постулаты, то сможем выводить совершенно другие теоремы (Евклид этого еще не знал, но уже догадывался, перед постулатами он написал: "Допустим, что...."). Аксиомы – это тоже высказывания, не нуждающиеся в доказательствах, но обычно аксиомы не подлежат сомнению. Не подлежат смене. Собственно, слова "аксиома" и "постулат" – синонимы. Но в геометрии ("так исторически сложилось" – смешная фраза, но уж как есть) принято отделять аксиомы и постулаты.

У Евклида к аксиомам отнесены как бы общематематические вещи (например: "равные одному и тому же равны между собой" – это, скорее, относится не к геометрии, а к определению слова "равны"; или "Половины одного и того же равны между собой" – а это тоже, скорее, не аксиома, а определение слова половина. Ну, и т.д.), а к постулатам уже вещи сугубо геометрические: "две любые точки можно соединить прямой", "из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг" и т.д.

У Евклида как излагаются определения, постулаты, так же и теоремы, но и разобрано много задач с решениями. Очень много среди них – задачи на построение чего-либо циркулем (правда, под циркулем Евклид понимал что-то чуть-чуть другое) и линейкой.

/*Всем, кто хочет почувствовать себя Евклидом, я крайне рекомендую игру, которая называется Euclidea. Очень сложная, но и очень крутая! Задача №2 из Начал – это задача 6.5 из этой игры (возможно, в будущих версиях программы номер задачи изменится, конечно. Задача называется "Окружность заданного радиуса"). Вообще, в игре много задач из Начал.*/

6.1

А чего же в «Началах» не было?

Все, да не все включил в книгу Евклид. Скажем, задачи на построение циркулем и линейкой он включает, а любые задачи на построение с помощью других инструментов – нет, не включает.

Так в «Начала» Евклида не входят три знаменитые неразрешимые задачи на построение (см.[12]).

Рисунок 6.3: Решение Архимеда задачи о трисекции угла

методом "вставки".

Задача удвоения куба. Построить отрезок такой, чтобы куб с таким ребром имел вдвое больший объем, чем заданный. (Иначе говоря: дан отрезок, построить другой отрезок, который будет длиннее данного раз).

Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, равновеликий заданному кругу (или же наоборот: построить круг, равновеликий заданному квадрату)6.

Трисекция угла. Разделить угол на три равные части (не на две, как биссектрисой, а на 3).

Математики разных времен пытались эти задачи решать. Естественно, не упомянуто, но подразумевается, что надо решать эти задачи с помощью циркуля и линейки. И с помощью циркуля и линейки у них не получалось. Зато иногда получалось с помощью других инструментов. Архимед, например, кажется, придумал, как с помощью разных инструментов решать все три эти задачи. Правда, Архимед жил позже Евклида (мы до него еще не дошли), но смысл тот же.

Так вот, решения с помощью "чего попало" в стиле пифагореизма было запрещено, считалось читерским, некрасивым. Поэтому Евклид не включил в свой трактат даже самые изящные и красивые из таких решений.

На рис.6.3 мы видим решение Архимеда задачи о трисекции угла методом "вставки". Если вы совсем-совсем неподготовленный читатель, то следующий абзац без потери смысла можно пропустить.

Угол АОВ – исходный, который надо поделить на три равные части. Произвольным радиусом строим окружность с центром в точке О. Продлеваем прямую АО. Теперь берем линейку, отмечаем на ней отрезок, равный радиусу окружности. И прикладываем эту линейку так, чтобы она проходила через точку А и чтобы отрезок, "зажатый" между окружностью и прямой ОВ был равен радиусу (тому самому, который мы заблаговременно отметили на линейке). В таком случае, полученный угол СDO будет как раз равен трети исходного угла. (Углы, отмеченные 1 равны между собой, т.к. в равнобедренном треугольнике; углы, отмеченные 2 равные между собой и вдвое больше углов 1 (т.к. угол АСО внешний к треугольнику ОСD). Ну, и дальше сумма углов в треугольнике равна π и сумма трех углов с вершиной О равна π. Значит, угол, отмеченный 3 втрое больше угла 1. Вот и все.)

Что тут используется? Почти что циркуль и линейка. Но только предлагается на линейке поставить засечку (отмечающую равный радиусу отрезок). Все. Так нельзя! Это не благородно, и недостойно.

Вот такие задачи Евклид так и не включил в свои Начала.

Кстати, древние греки не зря не могли найти решение с помощью циркуля и линейки в середине XIX века было доказано, что с помощью циркуля и линейки решить эти задачи нельзя, как ни исхищряйся.

.

Архимед

Итак, «Начала» уже написаны. Доказательства почти на том же уровне строгости, как принято в математике сейчас. Геометрия на необычайно высоком уровне. Приложения математика находит в астрономии, музыке, зачатках теории перспективы. Т.е. приложения приняты внутри науки и искусства. "Извлекать выгоду" из науки не принято, недостойно – по соображениям почти религиозным, как мы помним.

Казалось бы, куда уж боле?

И тут на сцене возникает Архимед.

Архимед родился в Сиракузах, жил в Сиракузах, занимался математикой, механикой и астрономией в Сиракузах, а затем умер, защищая Сиракузы, в возрасте 75 лет.

Тут надо сказать, что Сиракузы – город на юге острова Сицилия (ныне это в Италии). В те времена был автономным греческим городом-государством, а вот вся остальная Сицилия уже была поглощена римлянами. Проходило время господства на мировой арене Древней Греции, наступало время господства Древнего Рима. Поэтому всю жизнь Архимеда Сиракузы были очень лакомым кусочком, за который постоянно сражались греки, римляне и карфагеняне. В связи с этим есть информация об Архимеде практически в любых книгах по истории того времени (ведь битвы и баталии в исторической литературе отражены очень хорошо!). Еще Плутарх, живший на рубеже I и II веков нашей эры, и писавший трактаты про историю того времени, обязательно писал об Архимеде.

А кроме того, уцелело довольно много сочинений, работ, чертежей самого Архимеда (и на русском языке есть отличная книжка с этими остатками [17]). Поэтому о том, чем этот невероятно гениальный человек занимался в науке, мы знаем довольно хорошо.

Отец Архимеда был известный в те времена астроном Фидий. И Архимед, таким образом, возможно, первый в истории потомственный ученый. Сейчас бывают целые ученые династии, а уж потомственные ученые – повсеместность /*автор этой книги, ваша покорная слуга, сама из таких: мои родители оба математики. Но в наши времена это не редкость.*/, а вот Архимед был первым.

Рисунок 7.1: Архимед. 287–212 гг. до н.э.

Архимед вел переписку с разными известными учеными разных стран. И, возможно, это первая в истории научная переписка. С тех пор и поныне научная переписка – один из главных движителей науки.

Ученые обязательно общаются между собой, обсуждают доказанное, ставят друг другу задачи и так далее. Кстати, в связи с научной перепиской встает моральный вопрос: как доказать в науке свой приоритет? Сейчас авторы пишут статьи, издают их или в научных журналах или в электронном виде (например, на https://arxiv.org/), и все знают: кто первый встал – того и тапки. То есть, тьфу, чья первая вышла статья, того и изобретение. Еще один путь: выступить на научной конференции или на научном семинаре. Рассказать о своем открытии, заодним рассказать о том, что это открытие – твое. Но в те времена журналов не было. Научные семинары тоже появятся еще только в XVII веке. Как избежать того, что ты расскажешь какую-то теорему коллеге, а он ее потом будет везде рассказывать от своего имени? Можно было написать книгу (подобно Евклиду), но это очень долго.

Архимед писал в своих письмах результаты, но не писал доказательств. Доказательства были в его трудах. А кроме того, Архимед обожал троллить своих адресантов (например, постоянно слал Эратосфену нерешаемые задачи или неправильные теоремы).

7.1

Архимед и анекдоты

А еще, кажется, Архимед – первый ученый, про которого сочиняют анекдоты. Анекдоты про ученых – ныне явление повсеместное (например, крайне рекомендую всем заинтересованным книгу [73]). Но до Архимеда про ученых не сочиняли анекдотов. К ним относились с большим почтением, очень благоговейно. А Архимеда, хоть и уважали, но подсмеивались над его рассеянностью и увлеченностью наукой.

Например, рассказывают, что даже когда он принимал ванну, он не мог оторваться от геометрических чертежей и чертил их буквально на пене в ванной, на расплескавшейся вокруг ванной воде, и вообще на любых поверхностях.

В целом, подобные анекдоты о рассеянности ученых потом рассказывали постоянно. Например, судя по анекдоту, Ньютон както раз вместо яйца сварил по рассеянности свои карманные часы. А Эйнштейн… Впрочем, не буду вам все пересказывать, не зря же я вам книжку отдельную упомянула! Но Архимед был первым.

Ну, а самый известный анекдот, безусловно, про корону царя Гиерона.

Жил-был царь Гиерон. Страна, которой он управлял, была очень мала. А самомнение у него было очень велико. Поэтому он велел создать для него корону, самую большую, самую дорогую, и самую красивую! Выделил Гиерон ювелиру каменьев драгоценных и золота 10 пудов. И через некоторое время получил корону, которая весила ровно столько, сколько нужно. Была самая большая в мире и самая красивая. Но пошел слушок, что ювелир оказался нечист на руку, и использовал для короны не чистое золото, а часть золота заменил серебром того же веса.

Но как же это узнать? Архимед умный, вот пусть Архимед и узнает, – порешил царь.

Архимед долго бился над задачкой. Пилить корону, брать пробы – испортишь! А корона Гиерону очень нравилась, он с ней не хотел расставаться в любом случае. Как же проверить, из чистого она золота, или часть золота заменил-таки прохвост-ювелир на серебро? Думал-думал, ничего в голову не шло. И вот в один день пошел Архимед принимать ванну. А слуги наполнили ванну до самых краев, и когда Архимед залезал, вода выплеснулась на пол.

– А сколько же воды выплеснулось? – подумал Архимед. – Так ровно столько, каков мой объем.

– Эврика! – вскричал Архимед. На греческом это означало "нашел!" – выбежал из ванной и побежал прямо в чем мать родила через все Сиракузы во дворец, рассказывать царю Гиерону, как, не разрушая его корону, узнать, из чистого ли она золота.

И ведь правда, серебро – намного менее тяжелый металл (как бы мы сказали сейчас, плотность серебра меньше). Поэтому серебро того же веса займет больший объем, нежели золото. А объем можно вычислить, погрузив предмет в воду. Так можно узнать, не добавили ли в золото серебра.

А вот что случилось с тем ювелиром, анекдоты умалчивают. Вероятно, это уже не такая забавная история.

7.2

Механические изобретения

Архимед очень стыдился своего занятия механикой и изобретением разных механических приспособлений, но поделать с собой ничего не мог. Ну, нравилось ему это дело! Хотя и было немного стыдно извлекать прибыль из математики, вопреки неписанному уставу древнегреческих математиков. Изобретения свои он считал "забавами геометрии". Так что же изобрел Архимед?

Рисунок 7.2: Т. Спенс. Архимед руководит обороной Сиракуз. 1895г.

Более всего известен Архимед своими военными инженерными разработками. Когда в 212 году до н.э. римляне напали на Сиракузы в очередной попытке захватить этот город, у сиракузян на самом деле не было ни единого шанса на поле боя. Они многократно уступали в численности, в умении, в опыте… Но на помощь пришел Архимед и его приспособления.

Атакующих с суши встретили катапульты и скорпионы (которые изобрел Архимед, и подобного оружия у римлян не было). Причем, совершенно гениально Архимед изобрел бойницы. Уникальное изобретение, которое после смерти Архимеда было в Европе утеряно аж до Позднего Средневековья (а в Сиракузах бойницы встречаются в 3 веке до н.э.) Очевидно, сквозь бойницы метать снаряды при помощи скорпионов куда как удобнее, чем с вершины стен. Поэтому римляне не могли ничем ответить этой смертоносной бомбардировке, не могли ни разрушить как-то машины, ни подстрелить из луков сиракузян, управляющих этими машинами.

А вот на море римлян встречало еще одно изобретение Архимеда – клешня Архимеда (или коготь Архимеда). Это крюк, который захватывал судно под днище, потом с помощью системы блоков, нос корабля медленно поднимался из воды. После чего (вот тут тоже состоит гениальность), блок вышибали, веревка ослабевала и корабль под собственным весом падал в море, уходя под воду. Можно было веревку перерезать – но тогда изобретение было одноразовым. Архимед придумал, как такую систему сделать "многозарядной". (Можно посмотреть реконструкцию этого процесса, например, тут: [22]).

Были у Архимеда и мирные изобретения, как же не быть? Например, он изобрел перископ. Т.е. изогнутую трубку с системой зеркал, позволяющую заглянуть за стену.

Или вот, например, Архимед изобрел "Винт Архимеда" – устройство, которое до сих пор используют в некоторых странах для осушения полей или для поднимания воды на большую высоту. (Про это устройство тоже можно посмотреть видео. Например, вот такое: [23]).